Лев Ошанин родился в дворянской семье. Отец, Иван Александрович — статский советник, образование получил в Санкт-Петербургском военном училище, по окончании служил в 35-й артиллерийской бригаде. Выйдя в отставку, занял должность земского начальника.

Мать, Мария Николаевна — музыкальный педагог. Окончила Ярославскую гимназию с золотой медалью. Основала в селе Мышкино (ныне — город Мышкин) воскресную школу, которой и заведовала. Состояла членом ряда просветительных и благотворительных учреждений. В семье было шесть детей — пять братьев и сестра.

Жили в собственном двухэтажном доме на Крестовой улице, а после его продажи снимали квартиру в доме № 4 на Мологской улице (ныне — ул. Чкалова).

Когда Льву Ивановичу было 4 года, его отец скончался. Семья жила бедно, пришлось переехать в Ростов, а позже и в Москву для получения хоть какого-то заработка. После окончания восьми классов Ошанин работал токарем на чугунолитейном заводе, а затем экскурсоводом на выставке, впоследствии ставшей ВДНХ. Посещал рабочий литературный кружок «Закал», при поддержке которого издал свою первую книгу — повесть «Этажи» о школьных годах. Был принят в Российскую ассоциацию пролетарских писателей. Стал публиковать стихи в «Комсомольской правде», «Огоньке», «Молодой гвардии».

В 1920-е годы Ошанин был знаком с Владимиром Маяковским, по собственному признанию, жадно впитывал впечатления от его поэзии, вместе проводили досуг, играли в волейбол, однажды в ходе игры Лев сильной подачей разбил мячом часы пролетарского поэта, о чём сам со смехом вспоминал в преклонном возрасте.

Ошанин в 1936 году поступил в Литературный институт имени А. М. Горького. Женился на литераторе Елене Успенской — внучке писателя Глеба Успенского, родились дочь Татьяна и сын Сергей. Из-за прибавления в семействе пришлось бросить учебу.

В день начала войны, 22 июня 1941 года, из репродукторов на сборных пунктах звучала песня на написанное Ошаниным ранее стихотворение «В бой за Родину», а после Победы И. О. Дунаевским на музыку были положены и стали песней его стихи последнего периода войны «Ехал я из Берлина». Осенью 1945 года на стихи Ошанина была написана Анатолием Новиковым знаменитая песня «Дороги», после чего поэт получил прочное официальное признание.

После войны Лев Ошанин жил в писательском посёлке Переделкино и в квартире на Киевской улице близ Кутузовского проспекта и Поклонной горы. Активно боролся за сохранение первоначального облика Поклонной горы, на которую выходило окно его кабинета.

С 1984 года Л. И. Ошанин — почётный гражданин Рыбинска. Лев Иванович ежегодно приезжал на родину, посвятил ей несколько стихотворений, был участником ряда местных мероприятий.