Родился он 25 августа 1908 года в городе Рыбинске Ярославской области в семье купеческого сына Андрея Александровича Расплетина и его жены Марии Ивановны. Когда ему было 10 лет, погиб его отец.

Учился Александр в Рыбинской школе № 3, где возглавлял радиокружок и даже был избран в бюро Рыбинского общества радиолюбителей. Уже в школе он старался не копировать готовое, а свое создавать. Дома оборудовал радиолабораторию. Радио стало его страстью. О нем даже писали в рыбинской газете «Рабочий и пахарь». Его как талантливого радиолюбителя избрали председателем городской секции радиолюбителей и направили делегатом на первый Всесоюзный съезд коротковолновиков в Москву.

После окончания школы Александр Андреевич работал кочегаром, с 1926 года — электромонтером. В это время он создал свою первую конструкторскую разработку — коротковолновый передатчик.

С 1936 года Расплетин, получив высшее образование, работает в научно-исследовательских и проектных организациях, становится руководителем группы телевидения. С его участием в предвоенные годы были созданы первые отечественные телевизионные приемники.

Телевизионный приемник, разработанный инженером Расплетиным, получил первую премию. Он отличался от существующих отечественных и заграничных аналогов своей простотой, дешевизной и экономичностью.

В конце 40-х годов в истории разработок отечественного оружия произошло знаковое событие. Именно тогда, в обстановке строжайшей секретности, было создано Конструкторское бюро №1, которому предстояло заняться проектированием системы обороны Москвы и ее радиолокационных средств. Александра Расплетина перевели в КБ-1 из Головного радиолокационного научно-исследовательского института. По особому решению секретариата ЦК КПСС в конструкторское бюро направили тридцать лучших специалистов из различных московских и ленинградских организаций.

Расплетин предложил свой вариант, для того времени нетипичный: разместить на кольцевых рубежах вокруг Москвы ограниченное число радиолокаторов секторного обзора. Каждый из них должен был выполнять две задачи в своих секторах ответственности - и обнаруживать цели, и наводить на них ракеты. Этот вариант потребовал установку всего 56 многофункциональных радиолокаторов, подобных которым в мире еще не было. Так на свет появился новый вид оружия. Впоследствии эта разработка нашла широкое применение в самых различных системах вооружений.

Новую зенитную систему назвали С-25. Она в десятки раз превосходила качества американского зенитного комплекса «Найк-Аякс», предназначенного для обороны Вашингтона, и удерживала лидерство среди всех подобных зарубежных разработок еще на протяжении трех десятилетий. От рождения идеи до ее воплощения в жизнь прошло рекордно короткое время — всего три года. На вооружение С-25 приняли в мае 1955 года. За этот проект Александру Расплетину присудили степень доктора технических наук и звание Героя Социалистического Труда.

В 1958 году Александр Андреевич Расплетин принимает принципиально важное решение: приступить к разработке радиолокатора непрерывного излучения и от командного наведения перейти к ракетам с самонаведением.
Блестящие организаторские способности Расплетина позволили ему стать генеральным конструктором и ответственным руководителем предприятия.

Расплетин был основателем коллектива разработчиков, его учителем и воспитателем. Поднявшись на самые высокие ступени научной и конструкторской славы, Александр Андреевич оставался всегда очень скромным человеком, был веселым и жизнерадостным. Высокомерие, зазнайство, упоение своими заслугами были органически чужды и ненавистны Александру Андреевичу. Когда одно из принципиальных испытаний было блестяще завершено, присутствующий на нем известный авиаконструктор С. А. Лавочкин подошел к Расплетину, снял шляпу, поклонился ему и произнес слова восхищения.

Александр Андреевич Расплетин создал школу, учениками которой были руководители большинства предприятий радиопромышленности СССР. Значение этой школы можно оценить по результатам разработок систем зенитного управляемого ракетного оружия, которые были выполнены под его руководством, а также и последующих систем, которые всегда обеспечивали эффективную борьбу с самым динамичным видом наступательного оружия — с авиацией и ракетами.

Александр Андреевич Расплетин по праву считается основателем отечественных систем управляемого ракетного оружия. Дело, начатое им в КБ-1, активно продолжается его учениками в МКБ «Стрела» и ЦКБ «Алмаз». Как ученый он имел огромный авторитет в Академии наук, особенно в отделении общей физики и астрономии.

Александр Андреевич скоропостижно скончался 8 марта 1967 года, похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.